기대값과 분산의 직관적 이해와 수능 응용
기대값이란 무엇인가?
기대값(Expected Value)은 확률변수가 취할 수 있는 값들에 그 확률을 곱해 모두 더한 값으로, 흔히 평균이라고 이해할 수 있습니다.
기대값 E(X) = Σ [x × P(x)]
이는 한 실험을 무수히 많이 반복했을 때 얻어지는 평균적인 결과를 의미합니다.
기대값 예제
예시: 동전을 한 번 던져 앞면이면 1000원, 뒷면이면 0원을 받는 게임
- 앞면 확률 = 1/2 → 1000 × 1/2 = 500
- 뒷면 확률 = 1/2 → 0 × 1/2 = 0
- 기대값 = 500 + 0 = 500원
즉, 이 게임을 수천 번 반복하면 평균적으로 1회당 500원을 벌게 됩니다.
분산이란 무엇인가?
분산(Variance)은 확률변수가 평균(기대값)으로부터 얼마나 퍼져 있는지를 측정하는 지표입니다.
분산 Var(X) = Σ [(x - E(X))² × P(x)]
분산이 작을수록 값들이 평균 근처에 몰려 있고, 클수록 멀리 흩어져 있다는 뜻입니다.
분산 예제
앞서 예시의 동전 게임에서:
- 기대값 E(X) = 500
- 앞면(1000원) → (1000 - 500)² × 1/2 = 250000 × 1/2 = 125000
- 뒷면(0원) → (0 - 500)² × 1/2 = 250000 × 1/2 = 125000
- 분산 = 125000 + 125000 = 250000
표준편차와의 관계
표준편차(Standard Deviation)는 분산의 양의 제곱근으로, 단위가 기대값과 동일하여 실생활 해석에 더 적합합니다.
표준편차 σ = √(Var(X))
위 동전 게임의 경우 표준편차는 √250000 = 약 500입니다.
수능 문제 유형 예시
유형 1: 확률분포표에서 기대값 계산
x | 1 | 2 | 3
P(x) | 0.2 | 0.5 | 0.3
E(X) = 1×0.2 + 2×0.5 + 3×0.3 = 2.1
유형 2: 기대값이 주어졌을 때 확률 구하기
예: E(X) = 2일 때, P(x=3)를 묻는 문제 등 → 역방향 계산을 통해 조건을 만족하는 확률을 추론
유형 3: 분산이 최소가 되도록 하는 조건 찾기
예: α값이 주어졌을 때 분산이 가장 작도록 하는 값을 구하는 유형
실생활 속 기대값과 분산
- 보험 설계: 기대 손해액 기반 보험료 계산
- 로또/도박 확률: 기대값이 음수 → 손해 구조
- 투자: 수익률 기대값 & 위험 분산 분석
통계, 경제, 데이터 분석에서도 기대값과 분산은 핵심 개념입니다.
학습 팁
- 기대값은 평균, 분산은 퍼짐 정도라는 직관을 잊지 말기
- 확률분포표를 보고 표 형태로 정리하는 습관 들이기
- 수능 문제 풀이 시 단위 주의 (원, 점수 등)
정리: 기대값과 분산은 예측과 판단의 핵심
기대값과 분산은 단순 계산을 넘어서, 미래 결과를 예측하고 위험을 평가하는 도구입니다. 수능 수학 뿐만 아니라 대학의 통계학, 금융공학, 머신러닝까지 연결되는 기초 개념으로, 지금부터 개념을 직관적으로 익히고 다양한 문제에 적용해 보는 것이 중요합니다.